轨迹博客：

玫瑰线轨迹如何规划？（desmos+ROS2+turtlesim+……）

ROS1云课→23turtlesim绘制小结（数学和编程）

如上所涉及的机器人假定模型都是差动驱动机器人。

许多移动机器人使用一种称为差动驱动的驱动机构。它由安装在公共轴上的两个驱动轮组成，每个轮可以独立地向前或向后驱动。

图1:差动驱动运动学-Dudek和Jenkin《移动机器人的计算原理》

机器人旋转的点被称为ICC -瞬时曲率中心

通过改变两个轮子的速度，可以改变机器人的轨迹。

这类驱动器有三个有趣的例子：

1. 直线运动，左右轮速度一样
2. 绕轮轴的中点旋转，也就是原地旋转，左右轮速度大小一样，方向相反。
3. 绕某一轮为中心旋转，左轮或右轮只有一轮有速度

注意，差动驱动机器人不能沿着轴的方向移动——这是一个奇点。

曲线上存在不可导、不连续、根本没有定义的点，这些点就叫做奇点。基本上来说求导就可以瑕点是函数趋于无穷的点；奇点是函数未定的点。比如间断点，无定义点。奇点包含瑕点。

机器人系统数学建模（现代控制理论1）

图2 差动机器人数学建模

差速驱动车辆对每个车轮速度的微小变化非常敏感。轮子之间相对速度的差异会影响机器人的轨迹。它们对地平面的微小变化也非常敏感，可能需要额外的轮子(脚轮)来支撑。

凹凸不平的地面会影响轨迹精度。

差动驱动机器人的正向运动学

在图1中，假设机器人在某个位置(x，y)，朝向与X轴成θ角的方向。假设机器人的中心位于轮轴的中点。通过操纵控制参数Vl、Vr，可以使机器人移动到不同的位置和方向。(注:Vl，Vr)为车轮沿地面的速度)。

图3:差动机器人的正向运动学 

移动机器人的逆运动学

如何控制机器人达到给定的位置(x，y，θ)——这就是所谓的逆运动学问题。

不幸的是，差动驱动机器人在建立其位置时符合所谓的非完整约束。例如，机器人不能沿着它的轴横向移动。类似的非完整约束是汽车只能转动前轮。它不能直接侧向移动，因为平行泊车（侧方位停车）需要更复杂的转向操作。因此，不能简单地指定一个任意的机器人姿态(x，y，θ)并找到控制机器人所需要的速度。

这激活了机器人沿直线移动，然后原地旋转一圈，然后再次直线移动的策略，作为差动驱动机器人的导航策略。

直线运动轨迹：

圆周运动轨迹： 

未闭合

 闭合后，但控制为开环，也就是没有反馈控制。

正方形运动轨迹（非连续控制）： 

 可参考官方示例代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include turtlesim::msg::Pose::SharedPtr g_pose;
turtlesim::msg::Pose g_goal;enum State
{FORWARD,STOP_FORWARD,TURN,STOP_TURN,
};State g_state = FORWARD;
State g_last_state = FORWARD;
bool g_first_goal_set = false;#define PI 3.141592void poseCallback(const turtlesim::msg::Pose::SharedPtr pose)
{g_pose = pose;
}bool hasReachedGoal()
{return fabsf(g_pose->x - g_goal.x) < 0.01 && fabsf(g_pose->y - g_goal.y) < 0.01 && fabsf(g_pose->theta - g_goal.theta) < 0.002;
}bool hasStopped()
{return g_pose->angular_velocity < 0.0001 && g_pose->linear_velocity < 0.0001;
}void printGoal()
{RCLCPP_INFO(rclcpp::get_logger("draw_square"), "New goal [%f %f, %f]", g_goal.x, g_goal.y, g_goal.theta);
}void commandTurtle(rclcpp::Publisher::SharedPtr twist_pub, float linear, float angular)
{geometry_msgs::msg::Twist twist;twist.linear.x = linear;twist.angular.z = angular;twist_pub->publish(twist);
}void stopForward(rclcpp::Publisher::SharedPtr twist_pub)
{if (hasStopped()){RCLCPP_INFO(rclcpp::get_logger("draw_square"), "Reached goal");g_state = TURN;g_goal.x = g_pose->x;g_goal.y = g_pose->y;g_goal.theta = fmod(g_pose->theta + static_cast(PI) / 2.0f, 2.0f * static_cast(PI));// wrap g_goal.theta to [-pi, pi)if (g_goal.theta >= static_cast(PI)) g_goal.theta -= 2.0f * static_cast(PI);printGoal();}else{commandTurtle(twist_pub, 0, 0);}
}void stopTurn(rclcpp::Publisher::SharedPtr twist_pub)
{if (hasStopped()){RCLCPP_INFO(rclcpp::get_logger("draw_square"), "Reached goal");g_state = FORWARD;g_goal.x = cos(g_pose->theta) * 4 + g_pose->x;g_goal.y = sin(g_pose->theta) * 4 + g_pose->y;g_goal.theta = g_pose->theta;printGoal();}else{commandTurtle(twist_pub, 0, 0);}
}void forward(rclcpp::Publisher::SharedPtr twist_pub)
{if (hasReachedGoal()){g_state = STOP_FORWARD;commandTurtle(twist_pub, 0, 0);}else{commandTurtle(twist_pub, 1.0f, 0);}
}void turn(rclcpp::Publisher::SharedPtr twist_pub)
{if (hasReachedGoal()){g_state = STOP_TURN;commandTurtle(twist_pub, 0, 0);}else{commandTurtle(twist_pub, 0, 0.1f);}
}void timerCallback(rclcpp::Publisher::SharedPtr twist_pub)
{if (!g_pose){return;}if (!g_first_goal_set){g_first_goal_set = true;g_state = FORWARD;g_goal.x = cos(g_pose->theta) * 4 + g_pose->x;g_goal.y = sin(g_pose->theta) * 4 + g_pose->y;g_goal.theta = g_pose->theta;printGoal();}if (g_state == FORWARD){forward(twist_pub);}else if (g_state == STOP_FORWARD){stopForward(twist_pub);}else if (g_state == TURN){turn(twist_pub);}else if (g_state == STOP_TURN){stopTurn(twist_pub);}
}int main(int argc, char** argv)
{rclcpp::init(argc, argv);auto nh = rclcpp::Node::make_shared("draw_square");auto pose_sub = nh->create_subscription("turtle1/pose", 1, std::bind(poseCallback, std::placeholders::_1));auto twist_pub = nh->create_publisher("turtle1/cmd_vel", 1);auto reset = nh->create_client("reset");auto timer = nh->create_wall_timer(std::chrono::milliseconds(16), [twist_pub](){timerCallback(twist_pub);});auto empty = std::make_shared();reset->async_send_request(empty);rclcpp::spin(nh);
}

开环控制，重复精度不高，效果如下：

思考题：

如何绘制如下曲线，选择一款绘制即可。

-Fin-