• 博主介绍：夏驰和徐策

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2.1.1 随机变量的概念

随机试验的结果有些本身就是数量,例如,一只灯泡的寿命,每天的最高气温等随机试验的结果有些不是数量,例如,检查一个产品,结果可能是“合格”与“不合格”但是我们可以将其数量化,如用“1”表示“合格”，用“0”表示“不合格”.这样,随机试验的结果就是随机变化的变量.把随机试验的结果数量化,便于应用数学知识研究随机现象，使对随机现象的研究更深人和简单.先看两个例子

【例2.1】 有朋自远方来,他可能乘船、乘火车,或者乘飞机，记1={乘船},{乘火车),={乘飞机)，这就是以Ω=(}为样本空间的随机试验，现考虑该客人的旅费，很定乘船、火车与乘飞机的单价分别为 100 元,200 元,300元,则所需旅费就是如下实值单值函数。

易见,X=X()是随试验结果而变化的交量，称之为随机变量.它的定义城是样本空间Ω,值域为{100,200,300}.

【例2.22】将一枚硬币连续拋 3次,观察是正面朝上的情况,如果用1表示正面朝上。表示反面朝上,那么试验的样本空间为2=1(1,1,1),(1,1,0)，(1,0,1)，(1.0,0）， (0,1,1)，(0,1,0），(0,0,1) (0.0,0)〉若用 X 表示正面朝上的次数,那么叉 是一个变量,它的取值随试验结果而变化，是定义在样本空间上的西数，具体写出来就是10,0=(0,0,0).孓=X(a)=（0,0,1 或(0,1,0）或(1,0,0），12∞=（1,1,0）或(1,0,1） 或(0,1,1)，=¢1,1,1)以上函数我们称为随机变量,它的定义域是样本空间2，值域为{0,1,2,3)

下面给出随机变量的定义

定义2.1 设随机试验的样本空间为Ω={},X=X()是定义在样本空间Ω上的实值单值函数,称X=X()为随机变量.常用大写字母 X,Y,Z等表示随机量,其取值常用小写字母x,y,z等表示.

定义2.1表明：随机变量又是样本点的一个实值单值函数.一个样本点只能对应一个实数,不同样本点可以对应不同的实数,也可以对应同一个实数随机变量的取值随试验的结果而定,在试验之前不能预知它取到的值,且它的取值有一定的概率,这说明了随机变量与普通两数和普通变量有着本质的区别.引人随机变量后,我们很容易用随机变量表示随机事件和随机事件发生的概率。例如，用随机变量 区 表示掷一枚骰子朝上一面的点数，则{X一1}和{X＜3}分别表示事件“朝上一面的点数为 1”和“朝上一面的点数不超过 3”两事件，而P{X=1),P{X＜=3}则分别表示两事件发生的概率.

2.1.2 随机变量的分布函数

下面引人随机变量的分布函数的概念．——什么是分布函数

定义2.2 设X是一个随机变量,对任意实数x,称事件{X＜=x}发生的概率.

F(x)=P{X<=x}(-∞

为随机变量 了的分布函数，且称叉服从F(x),记为x~F(x).

由分布函数的定义易知，对任意实数a,6(a二6），有Pia

总结：

{x|x(w)=a}:事件A

{x=a}：事件A

p{x=a}:事件A发生的概率

随机变最.O5容易证明分布两数下(天)具有以下三条基本性质

①单调性：P(w)是定义在路不实数轴（一a014∞0>上的单调非减西数，即对任

意的21＜z2，有FCZD

(2）有界性：对任意的2，有0

F(-∞=limF=0,

F(+∞= limF(=1.

(3）右连续性：F（z)是， 的右连续西数，即对任意的工。，有lim FKZD=FCEO.

还可以证明，满足这三个基本性质的西数一定是某个随机变量的分布西数-从而

这三个基本性质成为判别某个的数是否能成为分布西数的充要条什：

【例2.3】证明FC)=一larctanz te元三：一8三2二十∞是一个分和晒数。

证显然厂(z）在整个数轴上是连续、 严格单调递增两数，且F（+∞)一1

F(一∞)一0,因此它满足分布两数的三条基本性质,故F(z)是一个分布函数

该函数称为柯西分布西数

【例 2.4】 向半径为，的圆内随机拋一点,求此点到网心的距离叉 的分布函数，

并求『了＞

解 事件《X≤z}表示所抛一点落在半径为，的圆内

若z＜0，（X＜z}为不可能事件,则FOD-Px

若z≥r，(x＜二)为必然事件,则F(D-Px

“若0＜z＜r,由几何概型知

F(X) = PIX < 2) _ 12?

Ter?

从而了的分布两数为I <0,E(x) =0

P18=③1=1=28≤=1-F)-1-135

总结：

在引人了随机变量和分布两数后，我们就可以利用高等数学的许多结果和方法

来研究各种随机现象了.下面将分别按照离散型和连续型两种类别来更深人地研究

随机变量及其分布两数，其他类型的随机变量本书不作研究．