定义

对于一个集合S, 如果集合E⊂S×S\mathcal{E} \subset S\times SE⊂S×S满足以下条件

1. 自反性: 对于∀s∈S,都有(s,s)∈E\forall s\in S, 都有 (s, s) \in \mathcal{E}∀s∈S,都有(s,s)∈E
2. 对称性: (s,t)∈E⇔(t,s)∈E(s,t) \in \mathcal{E} \Leftrightarrow (t,s)\in \mathcal{E}(s,t)∈E⇔(t,s)∈E
3. 传递性: 如果(s,t)∈E(s, t) \in \mathcal{E}(s,t)∈E 且(t,u)∈E(t, u) \in \mathcal{E}(t,u)∈E, 则(s,u)∈E(s, u)\in \mathcal{E}(s,u)∈E

如果(s,t)∈E(s, t)\in \mathcal{E}(s,t)∈E, 我们可以将这种情况记为s∼ts \sim ts∼t.
给定t∈St \in St∈S, 我们将*ttt在等价关系E\mathcal{E}E下的等价类*记为[t][t][t], 其中[t]⊂S[t]\subset S[t]⊂S ,且有
[t]={s∈S∣s∼t}[t] = \{s\in S|s\sim t\} [t]={s∈S∣s∼t}
显然t∈[t]t \in [t]t∈[t].
反过来, 如果S的某个子集[t]⊂S[t] \subset S[t]⊂S刚好是某个元素t∈St \in St∈S在等价关系E\mathcal{E}E下的等价类, 我们则称t是该集合/该等价类的表示(representative).
易知对于集合S上的某个特定的等价关系E\mathcal{E}E, 任意S中的元素都具有一个等价类. 我们将所有元素的等价类构成的集合记为[E][\mathcal{E}][E], 即
[E]={[s]∣s∈S}[\mathcal{E}] = \{[s]|s \in S\} [E]={[s]∣s∈S}

例子

ex1. 若S指地球上所有的动物个体构成的集合, 设E⊂S×S\mathcal{E} \subset S\times SE⊂S×S, 其中
(s1,s2)∈E⇔s1和s2是同一个物种(s_1, s_2) \in \mathcal{E} \Leftrightarrow s_1和s_2是同一个物种 (s1​,s2​)∈E⇔s1​和s2​是同一个物种
易知E\mathcal{E}E满足

1. 自反性
2. 对称性
3. 传递性

所以E\mathcal{E}E为S上的一个等价关系

ex2. 令S={A,B,C}S = \{A,B,C\}S={A,B,C}, 设E⊂S×S\mathcal{E} \subset S\times SE⊂S×S, 其中
E={{A,A},{B,B},{C,C},{A,B},{B,A}}\mathcal{E} = \{\{A,A\}, \{B,B\}, \{C,C\}, \{A,B\}, \{B,A\}\} E={{A,A},{B,B},{C,C},{A,B},{B,A}}
易知E\mathcal{E}E满足

1. 自反性
2. 对称性
3. 传递性

所以E\mathcal{E}E为S上的一个等价关系
而且, [A]=[B]={A,B},[C]={C}[A] =[B]= \{A, B\}, [C] = \{C\}[A]=[B]={A,B},[C]={C}

注意到例题2中, 在集合S上的等价关系E\mathcal{E}E下, 所有元素的等价类构成的集合[E][\mathcal{E}][E]形成了集合S的一个分划(partition).
这是一个很普遍的结论, 而且, 集合S的任一分划均可视为某种等价关系E\mathcal{E}E下的等价类集合[E][\mathcal{E}][E]. 也就是下面的命题.

命题

如果E⊂S×S\mathcal{E} \subset S\times SE⊂S×S是集合S上的一个等价关系, 则[E][\mathcal{E}][E]是集合S的一个分划. 反过来, 若P是集合S的一个分划, 则必然存在某个集合S上的等价关系E⊂S×S\mathcal{E} \subset S\times SE⊂S×S, 使得[E]=P[\mathcal{E}] = P[E]=P