作者：云兵老师，仿真秀专栏作者

一、导读

本人从大一时，上第一节力学课就开始接触有限元，那个时候老师曾说：“学会我讲的这门有限元，我可以保证你在毕业时候一定找到工作”。那个时候有限元很火，很多高校都开了课，这一晃都过去13年啦。最近看到有人分享了有限元的应力集中和应力奇异，文章写得特别精彩。在学校的时候我一直也很疑惑，既然应力的计算结果受网格尺寸影响，那到底有限元能不能有能力识别应力集中呢？

这个问题直到接触到董平沙教授提出的“结构应力法”才得以解决。结构应力是董平沙教授研究焊缝疲劳开裂机理时，针对焊接结构疲劳问题的特殊性并基于力学原理而定义的一种应力，有兴趣的可以查阅相关文献。写篇介绍性的文章，让大家了解下结构应力方法，欢迎各位亲对该方法进行深入的了解，扩展其应用范围，提出不同的看法或讨论，欢迎交流。

一、悬臂梁的计算困惑

下面是一个受弯悬臂梁的例子，如图1所示，该梁尺寸为

，根据材料力学公式，梁的中部上下表面两个点的理论解为

图1 悬臂梁示意图

图2 悬臂梁的两单元计算结果

根据几何模型建立有限元模型，单元类型为平面应力的PLANE182单元，划分两个单元，求解后，单独选取单元2，则中部节点3和6的应力分别为

，这个结果与理论解相差很远，网格细化后，应力肯定会逐渐升高，感兴趣的小伙伴可以试一试到底细化到什么程度能和理论解对上。

这个例子本身没有什么意义，但却说明一个很重要的问题，有限元求解的值是关于网格敏感的。对于一个新手而言，不知道所在行业的结构划分多大尺寸的网格才能和试验结果相对应，这是很可怕的。

三、如何实现的网格不敏感

董平沙教授提出的结构应力法如何实现的网格不敏感呢？想要知道具体理论的小伙伴可以参考书籍《焊接结构抗疲劳设计理论与方法》。咱们还是说上面的简支梁（这个例子也是董老师的，借来用用）。在有限元计算时，单元边上的分布载荷要向节点转化，这个学过有限元分析都应该了解，在有限元原理书籍中也叫等效载荷。而董老师网格不敏感的结构应力法利用节点力求线力和线矩时，却是这个过程的逆过程，即有限元求得的节点力和力矩转化为线力和线矩，该线力与线矩是指焊线处单位长度上的力与力矩。

具体怎么转化的呢？

图3 悬臂梁的两单元计算结果

如图3所示，节点1和2在y轴方向的节点力及绕x轴的力矩分别为Fy1、Fy2和Mx1、Mx2；y轴方向单元边的线力及绕x轴的线力矩分别为fy1，fy2和mx1、mx2根据力的平衡方程，可以求得式（1）（小伙伴可以用材料力学公式对节点1列平衡方程，即求合力及合弯矩）。

（1）

求（1）等式右侧项矩阵的逆可得：

（2）

所以节点1及节点2的结构应力定义式（3）：

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有限元求解：结构应力法如何实现的网格不敏感呢？

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