文章目录

• 一、极大极小搜索（Minimax Algorithm）
• 二、α-β剪枝（Alpha-Beta Pruning）
• 三、解题技巧

一、极大极小搜索（Minimax Algorithm）

在零和博弈（有完整信息的，确定的、轮流行动的，两个参与者收益之和为0的博弈）中，双方都希望自己获胜，因此每一步都选择对自己最有利，对对方最不利的做法。

假设我们是参与博弈的一方。我们用静态估计函数f(p)f(p)f(p)来估计博弈双方的态势：

• 有利于我方的态势：f(p)>0f(p)>0f(p)>0
• 有利于敌方的态势：f(p)<0f(p)<0f(p)<0
• 双方均衡的态势：f(p)=0f(p)=0f(p)=0

显然，我方希望f(p)f(p)f(p)最大化，敌方希望f(p)f(p)f(p)最小化。因此称我方为Max方，敌方为Min方。

在Max方的角度，因为是我们自己做决策，我们可以选择任意一种方案，所以我们只需选择收益最大的方案，也就是说每种方案之间是“或”的关系。
而对于Min方而言，因为是敌方做决策，我们无法控制敌方选择哪种策略，假设敌方足够聪明，我们应该假设敌方选择对他最有利的方案，也就是对我们最不利的方案、使我们收益最小的方案，所以对他而言每种方案之间是“与”的关系。

假设我们在进行动态博弈——你一步，我一步，且一方做完决策之后另一方知晓他所做的决策，那么我们可以把双方的行动展开成一棵树——博弈树。
在博弈树中，每个节点代表一种格局，每条边代表Max方或Min方的一步操作。那些下一步该Max方走的节点称为Max节点，下一步该Min方走的节点称为Min节点。

博弈树的特点：
(1) 博弈的初始状态是初始节点（假如Max方为先手，则初始节点为Max节点）；
(2) Max节点是“或”节点，Min节点是“与”节点，这两种节点逐层交替出现；
(3) 整个博弈过程始终站在一方（一般为Max方）的立场上。

博弈树上有以下几种节点：

• 端节点（叶节点）
• 与节点（Min节点）
• 或节点（Max节点）

其中，端节点可能是可解节点或非可解节点。使自己一方（Max方）获胜的为可解节点，使对方（Min）方获胜的为非可解节点。

对于当前的格局，我们的目标是找到一个最有利于自己获胜的策略。将当前棋局作为根节点，假设现在该Max方走了，Max方需要枚举根节点的所有子节点，来判断哪个子节点所对应的格局的静态估计函数的数值，那么这个节点对于Max方就最有利，Max方的下一步应该将格局转变为这个子节点的格局。

设f(u)f(u)f(u)是节点uuu所对应的格局的静态估计函数数值（也称效用值）。f(u)f(u)f(u)越大，节点uuu的格局对Max方越有利，对Min方越不利。显然，博弈树每层的节点类型的交替的——与节点、或节点、与节点、或节点、……，因为博弈双方是轮流采取行动的。

现在，要获得节点uuu的f(u)f(u)f(u)值，就需要进行极小极大搜索（min-max search）。极小极大搜索是指：在有限的深度范围内，使用深度优先搜索（DFS）算法，利用递归回溯从可能的走法中选择对自己最有利的走法，即让自己的收益最大、对手的收益最小。

• 或节点（Max方）：该节点的效用值为所有子节点效用值的最大值。即：若节点uuu为或节点且uuu的子节点为v1,v2,⋯,vkv_1,v_2,\cdots,v_kv1​,v2​,⋯,vk​，则f(u)=max⁡1≤i≤kf(vi)f(u)=\max\limits_{1\le i\le k}f(v_i)f(u)=1≤i≤kmax​f(vi​)。
• 与节点（Min方）：该节点的效用值为所有子节点效用值的最小值。即：若节点uuu为与节点且uuu的子节点为v1,v2,⋯,vkv_1,v_2,\cdots,v_kv1​,v2​,⋯,vk​，则f(u)=min⁡1≤i≤kf(vi)f(u)=\min\limits_{1\le i\le k}f(v_i)f(u)=1≤i≤kmin​f(vi​)。
• 端节点：这类节点的效用值取决于具体问题。

由此我们可以归纳出极小极大搜索算法（Minimax Algorithm）的一般步骤：
(1) 利用广度优先搜索算法生成Max方当前状态下可猜测的kkk步博弈树；
(2) 定义静态估计函数，计算端节点的效用值；
(3) 回溯评估：利用极大极小运算自下而上逐层推出各节点的效用值，其中在Max节点取最大值，在Min节点取最小值；
(4) 根据当前状态子节点的效用值做出最优决策，状态转移到子节点的状态，对方变为Max方，回到(1)开始新的搜索。

例 （井字棋）给定一个3×33\times33×3的棋盘，Max方和Min方轮流走棋，每次仅能在空格摆一个自己的棋，自己的棋子三个连成一线即为获胜。
规定估计函数f(p)f(p)f(p)为：

• 若格局ppp是Max方获胜，则f(p)=+∞f(p)=+\inftyf(p)=+∞；
• 若格局ppp是Min方获胜，则f(p)=−∞f(p)=-\inftyf(p)=−∞；
• 若双方均未获胜，则f(p)=fmax⁡(p)−fmin⁡(p)f(p)=f_{\max}(p)-f_{\min}(p)f(p)=fmax​(p)−fmin​(p)，其中
  • fmax⁡(p)f_{\max}(p)fmax​(p)表示所有空格全放上Max方的棋子后三子一线的总数，
  • fmin⁡(p)f_{\min}(p)fmin​(p)表示所有空格全放上Min方的棋子后三子一线的总数。
    
    那么，先手做出第一步决策的过程是这样的：

搜索过程中将很多对称的情况合并为一个情况，给出了k=2k=2k=2步博弈树，并确定最优策略为走中间。

极大极小搜索过程比较简单，但当考虑的步数过多后就会导致博弈树太大、搜索效率变低，需要进行优化。

二、α-β剪枝（Alpha-Beta Pruning）

α-β剪枝是一种优化方法，在博弈树生成的过程中同时计算各节点的估计值及倒推值，通过对估值的上下限进行估计，减去没有用的分支，减少搜索范围，提高效率。

α-β剪枝的基本思想：

• “或”节点（Max方）：取当前子节点中效用值的极大值为该节点效用值的下界，称为α（α≥该极大值），只有当下一个节点的值大于α才会被选择
• “与”节点（Min方）：取当前子节点中效用值的极小值为该节点效用值的上界，称为β（β≤该极小值），只有当下一个节点的值小于α才会被选择

α：目前Max方可以搜索到的最好值，初始值为−∞-\infty−∞
β：目前Min方可以接受的最坏值，初始值为+∞+\infty+∞

注意：
设节点uuu为或节点，uuu的效用值为f(u)f(u)f(u)，f(u)≥αf(u)\ge\alphaf(u)≥α不一定成立。
同理，设vvv为与节点，vvv的效用值为f(v)f(v)f(v)，f(v)≤βf(v)\le\betaf(v)≤β也不一定成立。
α，β是中间量，它们的作用是排除对结果没有影响的分支，不能决定最终节点的效用值。

或节点（Max方）α剪枝规则：
设当前节点为uuu，uuu是或节点，则uuu的子节点都是与节点或端节点，设为v1,v2,⋯,vkv_1,v_2,\cdots,v_kv1​,v2​,⋯,vk​。我们在扫描v1,v2,⋯,vkv_1,v_2,\cdots,v_kv1​,v2​,⋯,vk​的过程中，若发现viv_ivi​的β值小于等于其任何祖先节点的α值时，则对该节点以下的分支停止搜索，且viv_ivi​的最终倒推值就是其β值（可能与未加优化的极大极小搜索的结果不同）。

与节点（Min方）β剪枝规则：
设当前节点为vvv，vvv是与节点，则vvv的子节点都是或节点或端节点，设为u1,u2,⋯,uku_1,u_2,\cdots,u_ku1​,u2​,⋯,uk​。我们在扫描u1,u2,⋯,uku_1,u_2,\cdots,u_ku1​,u2​,⋯,uk​的过程中，若发现uiu_iui​的α值大于等于其任何祖先节点的β值时，则对该节点以下的分支停止搜索，且uiu_iui​的最终倒推值就是其α值（可能与未加优化的极大极小搜索的结果不同）。

用一个实际的例子来说明：如果你和一个人在下棋，现在轮到你走。现在你有两种选择：走“A”或者走“B”。如果走“A”，那么你的局势会变好。走“B”也比较好，但是如果你走“B”的话，对方可以在两步之内获胜，这对你是非常不利的。也就是说，你考虑到了走“B”的最坏结果，那么其他可能的结果就可以不考虑了（因为对手不傻，肯定会想方设法使你败北），那么你相当于在博弈树中剪掉了“B”的其他情况。最终，因为“A”至少不会让你在两步以内输棋，所以你选择走“A”。（摘自维基百科）

核心思想是：如果存在一个比某一分支更好的走法，那么就不考察这一分支。

α-β剪枝的一个Python实现：

# encoding: GB2312tree = [ # 博弈树的结构[[[4, 8, 6],[1, 9]],[[5, 8],[-1, 2]]],[[[0, 3],[-6, 6]],[[1],[0, 9, -7]]]
]def is_terminal(node): # 判断是否为端节点return isinstance(node, int)infinity = int(1e10) # 无穷大def alpha_beta(node, alpha, beta, ismax):# node: 当前节点# ismax: 若为True则当前节点是Max节点，否则为Min节点# 当node为Max节点时，alpha为当前节点的α，beta为父节点的β# 当node为Min节点时，alpha为父节点的α，beta为当前节点的βif is_terminal(node):return node # 若当前节点为端节点，直接返回其效用值if ismax:value = -infinity # 当前节点的效用值for child in node:value = max(value,alpha_beta(child, alpha, beta, False))# 当前节点的效用值是子节点效用值的最大值alpha = max(alpha, value)if value >= beta:# 这个子节点的效用值不小于beta，不可能被选择break # 进行β剪枝return valueelse:value = +infinityfor child in node:value = min(value,alpha_beta(child, alpha, beta, True))beta = min(beta, value)if value <= alpha:# 这个子节点的效用值不大于alpha，不可能被选择break # alpha剪枝return valueprint(alpha_beta(tree, -infinity, +infinity, True))

三、解题技巧

对于我们的期末考试而言，给你一棵树，请问需要在哪里剪枝。其实我们并不需要搞那些α，β什么的，只需要简单的逻辑就能算出来。

考虑下面的树：

首先我们假设路线是Q→P→J→A→RQ\to P\to J\to A\to RQ→P→J→A→R。现在考虑节点AAA。Min方不选择去RRR而是选择去其他端节点的条件是什么呢？是其他端节点的效用值小于f(R)=4f(R)=4f(R)=4。但是f(S)=8f(S)=8f(S)=8和f(T)=6f(T)=6f(T)=6都大于444，所以Min方还是选择去RRR。所以f(A)=min⁡{4,8,6}=4f(A)=\min\{4,8,6\}=4f(A)=min{4,8,6}=4。

现在考虑节点JJJ。Max方选择去BBB而不是去AAA的条件是什么呢？就是f(B)>f(A)=4f(B)>f(A)=4f(B)>f(A)=4。而f(B)=min⁡{f(U),f(V)}f(B)=\min\{f(U),f(V)\}f(B)=min{f(U),f(V)}，所以转化为min⁡{f(U),f(V)}>4\min\{f(U),f(V)\}>4min{f(U),f(V)}>4，即[f(U)>4]∧[f(V)>4][f(U)>4]\land[f(V)>4][f(U)>4]∧[f(V)>4]这是一个且的关系。现在f(U)=1f(U)=1f(U)=1，f(U)>4f(U)>4f(U)>4已经不满足了，所以这个且的关系肯定不成立，不论f(V)f(V)f(V)是多少都不可能成立，所以Max方不会去BBB。因此要把VVV剪掉，f(J)=f(A)=4f(J)=f(A)=4f(J)=f(A)=4。

再考虑节点PPP。Min方去KKK而不是去JJJ的条件是什么呢？就是f(K)f(C),f(D)}，故转化为[f(C)<4]∧[f(D)<4][f(C)<4]\land[f(D)<4][f(C)<4]∧[f(D)<4]又f(C)=min⁡{f(W),f(X)}f(C)=\min\{f(W),f(X)\}f(C)=min{f(W),f(X)}，f(D)=min⁡{f(Y),f(Z)}f(D)=\min\{f(Y),f(Z)\}f(D)=min{f(Y),f(Z)}，又转化为{[f(W)<4]∨[f(X)<4]}∧{[f(Y)<4]∨[f(Z)<4]}\{[f(W)<4]\lor[f(X)<4]\}\land\{[f(Y)<4]\lor[f(Z)<4]\}{[f(W)<4]∨[f(X)<4]}∧{[f(Y)<4]∨[f(Z)<4]}其中f(W)=5f(W)=5f(W)=5、f(X)=8f(X)=8f(X)=8，都不小于444，所以[f(W)<4]∨[f(X)<4][f(W)<4]\lor[f(X)<4][f(W)<4]∨[f(X)<4]不成立，那么f(K)<4f(K)<4f(K)<4也不可能成立，所以就没必要考察DDD了，把DDD剪掉，并令f(P)=4f(P)=4f(P)=4。

再考虑节点QQQ。Max方不去PPP而是去NNN的节点是什么呢？是f(N)>f(P)=4f(N)>f(P)=4f(N)>f(P)=4。而f(N)=min⁡{f(L),f(M)}f(N)=\min\{f(L),f(M)\}f(N)=min{f(L),f(M)}，故转化为[f(L)>4]∧[f(M)>4][f(L)>4]\land[f(M)>4][f(L)>4]∧[f(M)>4]而f(L)=max⁡{f(E),f(F)}f(L)=\max\{f(E),f(F)\}f(L)=max{f(E),f(F)}，f(M)=max⁡{f(G),f(H)}f(M)=\max\{f(G),f(H)\}f(M)=max{f(G),f(H)}，故转化为{[f(E)>4]∨[f(F)>4]}∧{[f(G)>4]∨[f(H)>4]}\{[f(E)>4]\lor[f(F)>4]\}\land\{[f(G)>4]\lor[f(H)>4]\}{[f(E)>4]∨[f(F)>4]}∧{[f(G)>4]∨[f(H)>4]}又f(E)=min⁡{f(Δ),f(Ω)}f(E)=\min\{f(\Delta),f(\Omega)\}f(E)=min{f(Δ),f(Ω)}，f(F)=min⁡{f(Ψ),f(Σ)}f(F)=\min\{f(\Psi),f(\Sigma)\}f(F)=min{f(Ψ),f(Σ)}，f(G)=f(Π)f(G)=f(\Pi)f(G)=f(Π)，f(H)=min⁡{f(Φ),f(Γ),f(Ξ)}f(H)=\min\{f(\Phi),f(\Gamma),f(\Xi)\}f(H)=min{f(Φ),f(Γ),f(Ξ)}，故转化为{[f(Δ)>4∧f(Ω)>4]∨[f(Ψ)>4∧f(Σ)>4]}∧{[f(Π)>4]∨[f(Φ)>4∧f(Γ)>4∧f(Ξ)>4]}\{[f(\Delta)>4\land f(\Omega)>4]\lor[f(\Psi)>4\land f(\Sigma)>4]\}\land\{[f(\Pi)>4]\lor[f(\Phi)>4\land f(\Gamma)>4\land f(\Xi)>4]\}{[f(Δ)>4∧f(Ω)>4]∨[f(Ψ)>4∧f(Σ)>4]}∧{[f(Π)>4]∨[f(Φ)>4∧f(Γ)>4∧f(Ξ)>4]}观察这个式子。这个式子成立，需要{[f(Δ)>4∧f(Ω)>4]∨[f(Ψ)>4∧f(Σ)>4]}\{[f(\Delta)>4\land f(\Omega)>4]\lor[f(\Psi)>4\land f(\Sigma)>4]\}{[f(Δ)>4∧f(Ω)>4]∨[f(Ψ)>4∧f(Σ)>4]}和{[f(Π)>4]∨[f(Φ)>4∧f(Γ)>4∧f(Ξ)>4]}\{[f(\Pi)>4]\lor[f(\Phi)>4\land f(\Gamma)>4\land f(\Xi)>4]\}{[f(Π)>4]∨[f(Φ)>4∧f(Γ)>4∧f(Ξ)>4]}都成立。而前者成立，只需使[f(Δ)>4∧f(Ω)>4][f(\Delta)>4\land f(\Omega)>4][f(Δ)>4∧f(Ω)>4]或[f(Ψ)>4∧f(Σ)>4][f(\Psi)>4\land f(\Sigma)>4][f(Ψ)>4∧f(Σ)>4]成立。
现在f(Δ)=0f(\Delta)=0f(Δ)=0不大于444，故[f(Δ)>4∧f(Ω)>4][f(\Delta)>4\land f(\Omega)>4][f(Δ)>4∧f(Ω)>4]不成立，不论f(Ω)f(\Omega)f(Ω)为何值，因此剪掉Ω\OmegaΩ。而f(Ψ)=−6f(\Psi)=-6f(Ψ)=−6也不大与4，故[f(Ψ)>4∧f(Σ)>4][f(\Psi)>4\land f(\Sigma)>4][f(Ψ)>4∧f(Σ)>4]不成立，不论f(Σ)f(\Sigma)f(Σ)为和值，因此剪掉Σ\SigmaΣ。这意味着，{[f(Δ)>4∧f(Ω)>4]∨[f(Ψ)>4∧f(Σ)>4]}\{[f(\Delta)>4\land f(\Omega)>4]\lor[f(\Psi)>4\land f(\Sigma)>4]\}{[f(Δ)>4∧f(Ω)>4]∨[f(Ψ)>4∧f(Σ)>4]}不成立。那么f(N)>f(P)f(N)>f(P)f(N)>f(P)的条件就已经不能满足了，NNN这边彻底没戏了，所以把剩下没去过的的都剪掉——也就是把MMM剪掉。最后，f(Q)=f(P)=4f(Q)=f(P)=4f(Q)=f(P)=4，也就是说在QQQ状态下Max方选择去PPP。

综上，要剪掉的节点是V,D,Ω,Σ,MV,D,\Omega,\Sigma,MV,D,Ω,Σ,M。如下图所示：