FMCW信号

调频连续波(frequency modulated continuous wave，FMCW)顾名思义，就是对信号的频率进行线性调制的信号。

从时域上看，对频率的调制，就像一把连续的锯齿波。其中每一个锯齿叫做一个chirp，其持续的时间叫做chirp的周期（chirp period 或 chirp repetition time）；在实际使用中，我们将chirp合并成一帧（frame）进行发送，从而得到物体的速度（或多普勒频偏）信息，是为FMCW信号。

我们定义扫频带宽与chirp周期的比值为系数K，也即锯齿波的斜率（slope）。
K=扫频带宽chirp周期=扫频终止频率−扫频起始频率chirp周期K = \frac{扫频带宽}{chirp周期}= \frac{扫频终止频率-扫频起始频率}{chirp周期} K=chirp周期扫频带宽​=chirp周期扫频终止频率−扫频起始频率​

如果从时域上看此时信号幅度的变化，可以发现随着时间的推移，对应正弦波的频率会越来越高，即呈现越来越密的特点。

中频信号

我们采用的IF信号就是指接收的回波信号与原始信号进行混频后，再过低通滤波器得到的低中频信号（或差拍信号，beat signal）。用一个简图来表示就是：

我们只关注1处发射信号、2处接收信号和3处IF信号的表达形式即可。

1处发射信号

由于发送信号为FMCW信号，取其中一个chirp，我们知道相位对时间的导数为角频率（再除以2π2 \pi2π即频率），如下：
12πdϕdt=fo+Kt\frac{1}{2\pi}\frac{d \phi}{dt} = f_o+Kt 2π1​dtdϕ​=fo​+Kt
于是，我们对上式两边积分，就有：
ϕ=2π(fot+12Kt2)+ϕo=2πfot+πKt2+ϕ0\phi = 2\pi( f_ot + \frac{1}{2}Kt^2)+\phi_o = 2\pi f_ot + \pi Kt^2+\phi_0 ϕ=2π(fo​t+21​Kt2)+ϕo​=2πfo​t+πKt2+ϕ0​
所以1处发射信号的形式为：
xTx(t)=Asin⁡(2πfot+πKt2+ϕ0)x_{\tiny{T}x}(t) = A \sin(2 \pi f_ot +\pi Kt^2+\phi_0) xTx​(t)=Asin(2πfo​t+πKt2+ϕ0​)

注意上式为发送的实信号形式（在物理世界中传输的都是实信号），将其转换为复信号（在信号处理中这可由希尔伯特变换实现），即

xr=Aej(2πfot+πKt2+ϕ0)x_r = Ae^{j(2 \pi f_ot +\pi Kt^2+\phi_0)} xr​=Aej(2πfo​t+πKt2+ϕ0​)

其中，K为斜率，ϕo\phi_oϕo​为信号的初始相位，f0f_0f0​为中心频率：

fo=扫频起始频率+扫频结束频率2f_o =\frac{扫频起始频率+扫频结束频率}{2} fo​=2扫频起始频率+扫频结束频率​

2处接收信号

发送的信号在遇到目标（Target）后就会反射，从而产生2处接收天线的回波信号，假设这个时延为τ\tauτ，衰减系数为aaa，则

xRx(t)=axTx(t−τ)=A′sin⁡[2πfo(t−τ)+πK(t−τ)2+ϕ0]=Asin⁡[πKt2+2π(fo−Kτ)t+πKτ2−2πfoτ+ϕ0]x_{\tiny{R}x}(t) = a x_{\tiny{T}x}(t-\tau) = A^{\prime} \sin[2 \pi f_o(t-\tau) +\pi K(t-\tau)^2+\phi_0] \\ =A\sin[\pi K t^2 +2\pi (f_o - K \tau)t+\pi K \tau^2-2 \pi f_o \tau + \phi_0] xRx​(t)=axTx​(t−τ)=A′sin[2πfo​(t−τ)+πK(t−τ)2+ϕ0​]=Asin[πKt2+2π(fo​−Kτ)t+πKτ2−2πfo​τ+ϕ0​]

3处IF信号

根据三角公式中的积化和差公式，即：
sin⁡(α)sin⁡(β)=12[cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)]\sin(\alpha) \sin(\beta) = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) ] sin(α)sin(β)=21​[cos(α−β)−cos(α+β)]

于是我们混频后的信号为：
xTx(t)×xRx(t)=12AA′[cos⁡(2πKτt+2πfoτ−πKτ2)−cos⁡(2π(2fo−Kτ)t+...)]x_{\tiny{T}x}(t) \times x_{\tiny{R}x}(t) =\frac{1}{2}AA^{\prime}[\cos(2\pi K\tau t+2\pi f_o \tau-\pi K \tau^2 ) \\- \cos(2\pi(2 f_o-K \tau)t+...)] xTx​(t)×xRx​(t)=21​AA′[cos(2πKτt+2πfo​τ−πKτ2)−cos(2π(2fo​−Kτ)t+...)]
经过低通滤波器后，结果中的和式将作为高频成分被滤除，而只留下差式中低频的成分，我们再将这个差信号通过中频放大器放大，最终将得到3处的中频信号，即：

xIF(t)=A′′cos⁡(2πKτt+2πfoτ−πKτ2)x_{\tiny{IF}}(t) = A^{\prime \prime} \cos(2\pi K\tau t+2\pi f_o \tau-\pi K \tau^2 ) xIF​(t)=A′′cos(2πKτt+2πfo​τ−πKτ2)

我们再对上面的参数有一个感性的认识：由于电磁波以光速运动，在前方1m处的目标其时延τ\tauτ的量级大致在10−810^{-8}10−8，f0f_0f0​对于毫米波雷达在10910^9109量级，而一般的 K 大概是1GHz除以0.1ms级别，即101310^{13}1013级。比较两个附加相位：
foτ≈10Kτ2≈10−3f_o \tau \approx 10 \ \ \ K\tau ^2 \approx 10^{-3} fo​τ≈10   Kτ2≈10−3
所以最后一项的附加相位几乎可以忽略不计，即一般将中频信号的形式写为：

xIF(t)=A′′cos⁡(2πKτt+2πfoτ)x_{\tiny{IF}}(t) = A^{\prime \prime} \cos(2\pi K\tau t+2\pi f_o \tau ) xIF​(t)=A′′cos(2πKτt+2πfo​τ)

上式即为本文最终要得出的式子。