终端滑膜控制 (Terminal Silding Mode Contral, TSM)

在之前的文章中我们介绍了滑膜控制理论，我们是选取了一个滑模面，使系统达到滑模面后误差逐渐下降到0，收敛的速度可以通过调节滑膜面的参数来实现，后来人们为了使滑模控制能有更好的性能，就将滑模面设计为非线性函数，构造Terminal滑膜面，使得在滑模面上误差可以在指定时间T内收敛到0，于是就产生了终端滑膜。

终端滑膜的滑模面

终端滑膜的滑膜面有很多种形式，这里我们介绍一种经典的滑模面
s=x˙+αx+βxqps=\dot x+ \alpha x + \beta x ^ {\frac {q}{p}} s=x˙+αx+βxpq​
其中 xxx 是状态变量，α,β>0\alpha,\beta > 0α,β>0，p,qp,qp,q 是正奇数，且 p

如果我们将 s=0s=0s=0 ，可以得到一个微分方程，虽然无法解出微分方程的解析解，但是可以通过仿真得到微分方程的数值解，数值解可以看到在滑模面上时必将在一定时间内收敛为0。

控制器设计

考虑二阶不确定非线性系统
{x˙1=x2x˙2=f(x)+g(x)u+d(x)\begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = f(x) + g(x)u + d(x) \end{cases} {x˙1​=x2​x˙2​=f(x)+g(x)u+d(x)​
其中x=[x1,x2]Tx = [x_1,x_2] ^ {T}x=[x1​,x2​]T，d(x)d(x)d(x) 代表不确定的外部干扰，且有 d(x)≤Dd(x) \le Dd(x)≤D，即干扰有上界

对于二阶系统我们可以将滑膜面设计为
s=x2+βx1qps = x_2 + \beta x_1 ^ {\frac {q} {p}} s=x2​+βx1pq​​
其中，β>0\beta > 0β>0 , p,q>0p,q>0p,q>0 且为正奇数。对滑模面求导
s˙=x˙2+βqpx1qp−1x˙1=x˙2+βqpx1qp−1x2=f(x)+g(x)u+d(x)+βqpx1qp−1x2=−εsgn(s)\begin {align} \dot s &= \dot x_2 + \beta \frac {q} {p} x_1^{\frac {q} {p} - 1}{\dot x_1} \nonumber \\ &= \dot x_2 + \beta \frac {q} {p} x_1^{\frac {q} {p} - 1}{x_2} \nonumber \\ &= f(x) + g(x)u + d(x) + \beta \frac {q} {p} x_1^{\frac {q} {p} - 1}{x_2} \nonumber \\ &= -\varepsilon sgn(s) \nonumber \end{align} s˙​=x˙2​+βpq​x1pq​−1​x˙1​=x˙2​+βpq​x1pq​−1​x2​=f(x)+g(x)u+d(x)+βpq​x1pq​−1​x2​=−εsgn(s)​
反解得到控制量 uuu 可得
u=−g−1(x)(f(x)+βqpx1qp−1x2+(D+ε)sgn(x))u = -g^{-1}(x)(f(x)+\beta \frac{q}{p} x_1^{\frac {q} {p} - 1}x_2 + (D+\varepsilon)sgn(x)) u=−g−1(x)(f(x)+βpq​x1pq​−1​x2​+(D+ε)sgn(x))
稳定性分析，设李雅普诺夫函数 V=12s2V = \frac {1} {2} s^2V=21​s2，所以有 V˙=ss˙\dot V = s \dot sV˙=ss˙，将 uuu 带入可得
V˙=sd(x)−(D+ε)∣s∣≤−ε∣s∣\dot V = sd(x) - (D+\varepsilon)|s| \le -\varepsilon |s| V˙=sd(x)−(D+ε)∣s∣≤−ε∣s∣
所以此控制器可以稳定。

有限时间收敛证明

s=0x2+βx1qp=0x˙1+βx1qp=0dx1dt=−βx1qpdtdx1=−1βx1−qpdt=−1βx1−qpdx1∫0tdt=∫x00−1βx1−qpdx1\begin{align} s &= 0 \nonumber \\ x_2 + \beta x_1 ^ {\frac {q} {p}} &= 0 \nonumber \\ \dot x_1 + \beta x_1 ^ {\frac {q} {p}} &= 0 \nonumber \\ \frac{\text d x_1}{\text d t} &= -\beta x_1 ^ {\frac {q} {p}} \nonumber \\ \frac{\text d t}{\text d x_1} &= -\frac {1} {\beta} x_1 ^ {- \frac {q} {p}} \nonumber \\ {\text d t} &= -\frac {1} {\beta} x_1 ^ {- \frac {q} {p}} {\text d x_1} \nonumber \\ \int_{0}^{t} {\text d t} &= \int_{x_0}^{0} -\frac {1} {\beta} x_1 ^ {- \frac {q} {p}} {\text d x_1}\nonumber \\ \end{align} sx2​+βx1pq​​x˙1​+βx1pq​​dtdx1​​dx1​dt​dt∫0t​dt​=0=0=0=−βx1pq​​=−β1​x1−pq​​=−β1​x1−pq​​dx1​=∫x0​0​−β1​x1−pq​​dx1​​​

可以得到从任意初始状态 x(0)≠0x(0) \ne 0x(0)=0 出发沿着滑模面到 x=0x=0x=0 的时间为：
ts=pβ(p−q)∣x1(0)∣(p−q)/pt_s = \frac {p} {\beta (p-q)}|x_1(0)| ^ {(p-q)/p} ts​=β(p−q)p​∣x1​(0)∣(p−q)/p

实例

假设系统模型为如下的一阶系统
x˙=2x+x2+u\dot x = 2x + x^2 +u x˙=2x+x2+u
选定滑模面
s=x˙+x+x13s = \dot x + x + x ^{\frac {1} {3}} s=x˙+x+x31​
令 s=0s = 0s=0
0=x˙+2x+x13=2x+x2+u+x+x13=x2+3x+x13+u0=\dot x + 2x + x ^{\frac {1} {3}} = 2x + x^2+u+ x + x ^{\frac {1} {3}} = x^2+3x+x ^{\frac {1} {3}}+u 0=x˙+2x+x31​=2x+x2+u+x+x31​=x2+3x+x31​+u
得到控制量
u=−x2−3x−x13u = -x^2-3x-x ^{\frac {1} {3}} u=−x2−3x−x31​

奇异性问题

我们知道滑模控制有两个阶段，但是上述的滑模面的设计存在一个严重的缺陷，存在奇异问题，奇异主要出现在 xqpx ^ {\frac {q} {p}}xpq​ 这一项，我们对滑膜面进行求导，可以得到
s˙=x¨+αx˙+βqpxqp−1\dot s = \ddot x + \alpha \dot x + \beta \frac {q} {p} x ^ {\frac {q} {p} - 1} s˙=x¨+αx˙+βpq​xpq​−1
在之前的设计中保证了 q