快速幂

题目

快速幂

典型题例：

给定 n 组 aia_iai​, bib_ibi​, pip_ipi​，对于每组数据，求出 aiba_i^baib​ modmodmod pip_ipi​的值。

示例 ：

2
3 2 5
4 3 9

思路

代码：

/*
核心思路：反复平方法
*/#include 
#include using namespace std;typedef long long LL;// a^b % p
int qmi(int a, int b, int p) {int res = 1;while (b) {if (b & 1) res = (LL) res * a % p;b >>= 1;a = (LL) a * a % p;}return res;
}int main() {int n;scanf("%d", &n);while (n --) {int a, b, p;scanf("%d%d%d", &a, &b, &p);printf("%d\n", qmi(a, b, p));}return 0;
}

快速幂求逆元

典型题例：

给定 nnn 组 aia_iai​,pip_ipi​，其中 pip_ipi​ 是质数，求 aia_iai​ 模 pip_ipi​ 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

逆元定义：若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 a/b≡a×x(modm)，
则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 b−1(modm)。b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。
当模数 m 为质数时，bm−2 即为 b 的乘法逆元。前提n为质数
a / b ≡ a * x (mod n)
两边同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod n)
即 1 ≡ b * x (mod n)
同 b * x ≡ 1 (mod n)
由费马小定理可知，当n为质数时
b ^ (n - 1) ≡ 1 (mod n)
拆一个b出来可得 b * b ^ (n - 2) ≡ 1 (mod n)
故当n为质数时，b的乘法逆元 x = b ^ (n - 2)

示例 ：

第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个数组 ai,pi，数据保证 pi 是质数。输出共 n 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
若 ai 模 pi 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。3
4 3
8 5
6 3

思路
核心：
当n为质数时，可以用快速幂求逆元：
a / b ≡ a * x (mod n)
两边同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod n)
即 1 ≡ b * x (mod n)
同 b * x ≡ 1 (mod n)
由费马小定理可知，当n为质数时
b ^ (n - 1) ≡ 1 (mod n)
拆一个b出来可得 b * b ^ (n - 2) ≡ 1 (mod n)
故当n为质数时，b的乘法逆元 x = b ^ (n - 2)

当n不是质数时，可以用扩展欧几里得算法求逆元：
a有逆元的充要条件是a与p互质，所以gcd(a, p) = 1
假设a的逆元为x，那么有a * x ≡ 1 (mod p)
等价：ax + py = 1
exgcd(a, p, x, y)
代码：

#include 
#include using namespace std;typedef long long LL;int n;int qmi(int a, int b, int p) {int res = 1;while (b) {if (b & 1) res = (LL)res * a % p;b >>= 1;a = (LL) a * a %  p;}return res;
}int main() {cin >> n;while (n --) {int a, p;scanf("%d%d", &a, &p);int ans = qmi(a, p - 2, p);if (a % p == 0) puts("impossible");else printf("%d\n", ans);}return 0;
}

充电站
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