到达方向（Direction-of-arrival, DOA）估计是指从形成传感器阵列的多个接收天线的输出中检索若干电磁波/源的方向信息的过程。DOA估计是阵列信号处理中的一个主要问题，在雷达、声纳、无线通信中有着广泛的应用。

基本数学模型

考虑KKK个窄带的远场源信号sk,k=1,⋯,Ks_k, k=1,\cdots, Ksk​,k=1,⋯,K，多个接收阵列从不同方向{θk}k=1K{\{\theta_k\}}_{k=1}^K{θk​}k=1K​接收到信号。而不同阵列之间的信号延时可以用简单的相移(phase shift)来表征，这也就引出来下面的信号模型：
y(t)=∑k=1Ka(θk)sk(t)+e(t)=A(θ)s(t)+e(t),t=1,⋯,L(1)\boldsymbol y(t) = \sum_{k=1}^K \boldsymbol a(\theta_k) s_{k}(t) + \boldsymbol e(t) = \boldsymbol A(\boldsymbol \theta) \boldsymbol s(t) + \boldsymbol e(t), \ \ t = 1,\cdots, L \tag{1} y(t)=k=1∑K​a(θk​)sk​(t)+e(t)=A(θ)s(t)+e(t),  t=1,⋯,L(1)

其中ttt表示第ttt个时隙(snapshot)，LLL表示总的时隙数量(the number of snapshots)。y(t)∈CM×1\boldsymbol y(t) \in \mathbb C^{M \times 1}y(t)∈CM×1，s(t)∈CK×1\boldsymbol s(t) \in \mathbb C^{K \times 1}s(t)∈CK×1，e(t)∈CM×1\boldsymbol e(t) \in \mathbb C^{M \times 1}e(t)∈CM×1分别表示阵列在第ttt个时隙的输出信号，源信号向量，以及测量噪声。MMM是阵列的数量。a(θk)\boldsymbol a(\theta_k)a(θk​)被称作第kkk个信号源的导向矢量(steering vector)，这KKK个导向矢量构成了阵列流形矩阵(array manifold matrix) A(θ)=[a(θ1),⋯,a(θK)]∈CM×K\boldsymbol A(\boldsymbol \theta)=\left [ \boldsymbol a(\theta_1), \cdots, \boldsymbol a(\theta_K) \right] \in \mathbb C^{M \times K}A(θ)=[a(θ1​),⋯,a(θK​)]∈CM×K。我们可以把式(1)写为更紧凑的矩阵形式：
Y=A(θ)S+E(2)\boldsymbol Y = \boldsymbol A(\boldsymbol \theta) \boldsymbol S + \boldsymbol E \tag{2} Y=A(θ)S+E(2)

给定接收信号Y∈CM×L\boldsymbol Y \in \mathbb C^{M \times L}Y∈CM×L，以及映射θ→a(θ)\theta \rightarrow \boldsymbol a(\theta)θ→a(θ)，我们的目标是估计出参数{θk}k=1K{\{\theta_k\}}_{k=1}^K{θk​}k=1K​（即DOAs）。另外，在实际模型中，我们一般没有KKK的先验知识，且我们一般假设K≤MK \leq MK≤M。

阵列的几何结构

我们考虑一个简单的线性阵列(linear array)，如下图所示

a(θ)∈CM×1\boldsymbol a(\theta) \in \mathbb C^{M \times 1}a(θ)∈CM×1表示为：
am(θ)=eiπrmcos⁡θ,m=1,2,⋯,M(3)a_m(\theta) = e^{i \pi r_m \cos \theta} \ \ , m=1,2,\cdots,M \tag{3} am​(θ)=eiπrm​cosθ  ,m=1,2,⋯,M(3)

我们可以把变量θ\thetaθ替换为f=12cos⁡θf = \frac{1}{2} \cos \thetaf=21​cosθ，并且定义(without ambiguity)a(f)=a(arccos⁡(2f))=a(θ)\boldsymbol a(f)=\boldsymbol a \left( \arccos(2f) \right)=\boldsymbol a(\theta)a(f)=a(arccos(2f))=a(θ)，那么映射a(f)\boldsymbol a(f)a(f)为：
am(f)=ei2πrmf,m=1,2,⋯,M(4)a_m(f) = e^{i 2 \pi r_m f}, \ \ m=1,2,\cdots,M \tag{4} am​(f)=ei2πrm​f,  m=1,2,⋯,M(4)

从上式可以看出，空域上的估计问题变成了一个时频估计（temporal frequency estimation）问题（线谱估计问题，linear spectral estimation）。
对时频域的理解：

1. 时间：注意到rmr_mrm​其实想表征第m−1m-1m−1根天线距离第0根天线之间的距离，因为距离与时间的正比关系，所以rmr_mrm​对应到时间(temporal)；
2. 频率：注意到fff的定义域f∈(−12,12]f \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]f∈(−21​,21​]，2πf∈(−π,π]2 \pi f \in (- \pi , \pi]2πf∈(−π,π]，类比角频率。我们定义T=(−12,12]\mathbb T=(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]T=(−21​,21​]（之后会用到）

如果我们考虑等间距的线性阵列，那么该阵列即为ULA( Uniform Linear Array )，并且仅考虑最简单的单位时间，即两个相邻天线的时间差归一，对应到rm−rm−1=1r_m - r_{m-1}=1rm​−rm−1​=1，这时
a(f)=[1,ei2πf,⋯,ei2π(M−1)f]T∈CM×1(5)\boldsymbol a(f) = [1, e^{i 2 \pi f}, \cdots, e^{i 2 \pi (M-1) f}]^T \in \mathbb C^{M \times 1} \tag{5} a(f)=[1,ei2πf,⋯,ei2π(M−1)f]T∈CM×1(5)

如果通过仅保留一部分天线，从ULA获得线性阵列，则称为稀疏线性阵列（SLA，Sparse Linear Array）。

ULA模型和SLA模型

ULA模型：MMM根接收天线，则阵列接收信号模型为：
Y=A(f)S+E(6)\boldsymbol Y = \boldsymbol A( \boldsymbol f) \boldsymbol S + \boldsymbol E \tag{6} Y=A(f)S+E(6)

其中fk∈Tf_k \in \mathbb Tfk​∈T，k=1,⋯,Kk=1,\cdots,Kk=1,⋯,K是我们感兴趣的频率成分，它与DOAs有着one-to-one的映射关系。

SLA模型：SLA有MMM根接收天线，若这MMM根天线是从NNN个ULA阵列中选取的，记索引为Ω={Ω1,⋯,ΩM}\Omega=\{ \Omega_1, \cdots, \Omega_M \}Ω={Ω1​,⋯,ΩM​}，其中N≥MN \geq MN≥M，且1≤Ω1<⋯<ΩM≤N1 \leq \Omega_1 < \cdots < \Omega_M \leq N1≤Ω1​<⋯<ΩM​≤N，那么SLA的数据模型为
YΩ=AΩ(f)S+EΩ(7)\boldsymbol Y_{\Omega} = \boldsymbol A_{\Omega} (f) \boldsymbol S + \boldsymbol E_{\Omega} \tag{7} YΩ​=AΩ​(f)S+EΩ​(7)

单时隙简单场景(The Single Snapshot Case)

确定性方法的一般框架

SLA中，单时隙场景的数据模型为：
yΩ=zΩ+eΩ,z=A(f)s(8)\boldsymbol y_{\Omega} = \boldsymbol z_{\Omega} + \boldsymbol e_{\Omega}, \ \ \boldsymbol z = \boldsymbol A(\boldsymbol f) \boldsymbol s \tag{8} yΩ​=zΩ​+eΩ​,  z=A(f)s(8)

ULA是Ω={1,⋯,N}\Omega=\{1,\cdots,N\}Ω={1,⋯,N}的特殊情况。对于确定性的稀疏方法，一般的，我们需要解决下面的约束优化问题：
min⁡zM(z),subject to ∥zΩ−yΩ∥2≤η(9)\min_{\boldsymbol z} \mathcal M(\boldsymbol z), \ \ \text{subject to } {\Vert \boldsymbol z_{\Omega} - \boldsymbol y_{\Omega} \Vert}_2 \leq \eta \tag{9} zmin​M(z),  subject to ∥zΩ​−yΩ​∥2​≤η(9)

其中噪声是有界的：∥eΩ∥2≤η\Vert \boldsymbol e_{\Omega} \Vert_2 \leq \eta∥eΩ​∥2​≤η。M(z)\mathcal M(\boldsymbol z)M(z)表征一种稀疏的metric：最小化M(z)\mathcal M(\boldsymbol z)M(z)意味着相应的a(f)\boldsymbol a(f)a(f)的数量（the number of components/atoms a(f)\boldsymbol a(f)a(f)）降低。这些原子(atoms)可以直接给出频率的估计结果。我们可以考虑下面的正则优化问题（regularized optimization problem）:
min⁡zλM(z)+12∥zΩ−yΩ∥22(10)\min_{\boldsymbol z} \lambda \mathcal M(z) + \frac{1}{2} {\Vert \boldsymbol z_{\Omega} - \boldsymbol y_{\Omega} \Vert}^2_2 \tag{10} zmin​λM(z)+21​∥zΩ​−yΩ​∥22​(10)

令η→0\eta \rightarrow 0η→0，可以得到退化的无噪声问题：
min⁡zM(z),subject to zΩ=yΩ(11)\min_{\boldsymbol z} \mathcal M(\boldsymbol z), \ \ \text{subject to } \boldsymbol z_{\Omega}=\boldsymbol y_{\Omega} \tag{11} zmin​M(z),  subject to zΩ​=yΩ​(11)

之后的内容，我们主要考虑metric M(z)\mathcal M(\boldsymbol z)M(z)的选择。

注：这里的一个原子(atoms)指的是一个频率成分，即对应到一个a(f)\boldsymbol a(f)a(f)

原子ℓ0\ell_0ℓ0​范数(Atomic ℓ0\ell_0ℓ0​ norm)

我们定义原子集合(the set of atoms)：
A={a(f,ϕ)=a(f)ϕ:f∈T,ϕ∈C,∣ϕ∣=1}(12)\mathcal A = \{ \boldsymbol a(f, \phi) = \boldsymbol a(f) \phi : f \in \mathbb T, \phi \in \mathbb C, |\phi|=1\} \tag{12} A={a(f,ϕ)=a(f)ϕ:f∈T,ϕ∈C,∣ϕ∣=1}(12)

真实信号z\boldsymbol zz是原子集合A\mathcal AA中KKK个原子的线性组合，原子ℓ0\ell_0ℓ0​范数(the atomic ℓ0\ell_0ℓ0​ (pseudo-) norm)，我们用∥z∥A,0\Vert \boldsymbol z \Vert_{\mathcal A,0}∥z∥A,0​来表示：is defined as the minimum numer of atoms in A\mathcal AA that can synthesize z\boldsymbol zz：
∥z∥A,0=inf⁡ck,fk,ϕk{K:z=∑k=1Ka(fk,ϕk)ck,fk∈T,∣ϕk∣=1,ck>0}=inf⁡fk,sk{K:z=∑k=1Ka(fk)sk,fk∈T}(13)\begin{aligned} \Vert \boldsymbol z \Vert_{\mathcal A,0} &= \inf_{c_k, f_k, \phi_k} \left \{ \mathcal K: \boldsymbol z = \sum_{k=1}^{\mathcal K} \boldsymbol a(f_k, \phi_k) c_k , \ \ f_k \in \mathbb T, \vert \phi_k \vert = 1, c_k > 0 \right \} \\ &= \inf_{f_k, s_k} \left \{ \mathcal K: \boldsymbol z= \sum_{k=1}^{\mathcal K} \boldsymbol a(f_k) s_k, f_k \in \mathbb T \right \} \end{aligned} \tag{13} ∥z∥A,0​​=ck​,fk​,ϕk​inf​{K:z=k=1∑K​a(fk​,ϕk​)ck​,  fk​∈T,∣ϕk​∣=1,ck​>0}=fk​,sk​inf​{K:z=k=1∑K​a(fk​)sk​,fk​∈T}​(13)

为了解决该问题，我们需要引入Toepitz协方差矩阵的范德蒙德分解。更具体一些，令T(u)\boldsymbol T(u)T(u)为Toeplitz矩阵，并且满足下述条件：
[xzHzT(u)]≽0(14)\left[ \begin{matrix} x& \boldsymbol{z}^H\\ \boldsymbol{z}& \boldsymbol{T}\left( \boldsymbol{u} \right)\\ \end{matrix} \right] \succcurlyeq \boldsymbol{0} \tag{14} [xz​zHT(u)​]≽0(14)
其中≽0\succcurlyeq \boldsymbol{0}≽0表示半正定矩阵。xxx是一个待优化的自由变量，如果式(14)要成立，那么T(u)\boldsymbol T(\boldsymbol u)T(u)必然是一个半正定的Toeplitz矩阵，因此可以进行rank(T(u))\text{rank}(\boldsymbol T(\boldsymbol u))rank(T(u))-atomic Vandermonde deomposition。另外，z∈span(T(u))\boldsymbol z \in \text{span}(\boldsymbol T(\boldsymbol u))z∈span(T(u))，因此原子ℓ0\ell_0ℓ0​范数与T(u)\boldsymbol T(\boldsymbol u)T(u)的秩密切相关，我们有下面的定理

式(13)定义的∥z∥A,0\Vert \boldsymbol z \Vert_{\mathcal A, 0}∥z∥A,0​，等于下面优化问题的最优值：
min⁡x,urank(T(u))subject to[xzHzT(u)]≽0(15)\min_{\boldsymbol x, \boldsymbol u} \text{rank} \left ( \boldsymbol T(\boldsymbol u) \right) \\ \text{subject to} \left[ \begin{matrix} x& \boldsymbol{z}^H\\ \boldsymbol{z}& \boldsymbol{T}\left( \boldsymbol{u} \right)\\ \end{matrix} \right] \succcurlyeq \boldsymbol{0} \tag{15} x,umin​rank(T(u))subject to[xz​zHT(u)​]≽0(15)

原子范数(Atomic Norm)

比原子ℓ0\ell_0ℓ0​范数更为实用的metric是原子范数最小化(Atomic Norm Minimization, ANM)，我们正式地引入原子范数，原子范数的实质为式(12)集合中A\mathcal AA的凸包(convex hull)：
∥z∥A=inf⁡{t>0:z∈t⋅conv(A)}=inf⁡ck,fk,ϕk{∑kck:z=∑ka(fk,ϕk)ck,fk∈T,∣ϕk∣=1,ck>0}=inf⁡fk,sk{∑k∣sk∣:z=∑ka(fk)sk,fk∈T}(16)\begin{aligned} \Vert \boldsymbol z \Vert_{\mathcal A} &= \inf \left \{ t > 0: z \in t \cdot conv(\mathcal A) \right \} \\ &= \inf_{c_k, f_k, \phi_k} \left \{ \sum_{k} c_k: \ \ \boldsymbol z=\sum_{k} \boldsymbol a(f_k, \phi_k) c_k ,\ f_k \in \mathbb T, \ \vert \phi_k \vert=1, \ c_k > 0 \right \} \\ &= \inf_{f_k, s_k} \left \{ \sum_{k} \vert s_k \vert: \boldsymbol z = \sum_{k} \boldsymbol a(f_k) s_k, \ \ f_k \in \mathbb T \right \} \end{aligned} \tag{16} ∥z∥A​​=inf{t>0:z∈t⋅conv(A)}=ck​,fk​,ϕk​inf​{k∑​ck​:  z=k∑​a(fk​,ϕk​)ck​, fk​∈T, ∣ϕk​∣=1, ck​>0}=fk​,sk​inf​{k∑​∣sk​∣:z=k∑​a(fk​)sk​,  fk​∈T}​(16)

根据定义，我们不难发现，原子范数其实对应到有限维向量的ℓ1\ell_1ℓ1​范数。为了解决原子范数问题，学界和业界提供了一种高效的SDP优化方法。

定理：式(16)中定义的∥z∥A\Vert \boldsymbol z \Vert_{\mathcal A}∥z∥A​，等于下面SDP问题的最优值：
min⁡xu12x+12u1subject to [xzHzT(u)]≽0(17)\begin{aligned} & \min_{x \boldsymbol u} \frac{1}{2} x+ \frac{1}{2} u_1 \\ & \text{subject to } \left[ \begin{matrix} x& \boldsymbol{z}^H\\ \boldsymbol{z}& \boldsymbol{T}\left( \boldsymbol{u} \right)\\ \end{matrix} \right] \succcurlyeq \boldsymbol{0} \end{aligned} \tag{17} ​xumin​21​x+21​u1​subject to [xz​zHT(u)​]≽0​(17)

证明：令FFF为式上述优化问题的最优值，我们需要证明F=∥z∥AF=\Vert \boldsymbol z \Vert_{\mathcal A}F=∥z∥A​
(1)我们首先证明F≤∥z∥AF \leq \Vert \boldsymbol z \Vert_{\mathcal A}F≤∥z∥A​
令z=∑kcka(fk,ϕk)=∑ka(fk)sk\boldsymbol z=\sum_k c_k \boldsymbol a(f_k, \phi_k) = \sum_{k} \boldsymbol a(f_k) s_kz=∑k​ck​a(fk​,ϕk​)=∑k​a(fk​)sk​表征z\boldsymbol zz的原子分解形式。然后令u\boldsymbol uu满足T(u)=∑kcka(fk)aH(fk)\boldsymbol T( \boldsymbol u ) = \sum_k c_k \boldsymbol a(f_k) \boldsymbol a^H(f_k)T(u)=∑k​ck​a(fk​)aH(fk​)，且x=∑kckx = \sum_{k} c_kx=∑k​ck​，由此我们可以得到
[xzHzT(u)]=∑kck[ϕk∗a(fk)][ϕk∗a(fk)]H≽0(18)\left[ \begin{matrix} x& \boldsymbol{z}^H\\ \boldsymbol{z}& \boldsymbol{T}\left( \boldsymbol{u} \right)\\ \end{matrix} \right] =\sum_k{c_k\left[ \begin{array}{c} \phi _{k}^{*}\\ \boldsymbol{a}\left( f_k \right)\\ \end{array} \right]}\left[ \begin{array}{c} \phi _{k}^{*}\\ \boldsymbol{a}\left( f_k \right)\\ \end{array} \right] ^H \succcurlyeq \boldsymbol{0} \tag{18} [xz​zHT(u)​]=k∑​ck​[ϕk∗​a(fk​)​][ϕk∗​a(fk​)​]H≽0(18)

因此，由(18)式构建的xxx和u\boldsymbol uu构成了问题(17)的一个可行解，并且目标函数满足：
12x+12u1=∑kck(19)\frac{1}{2} x+ \frac{1}{2} u_1 = \sum_{k} c_k \tag{19} 21​x+21​u1​=k∑​ck​(19)

由此，我们可以得到：F≤∑kckF \leq \sum_{k} c_kF≤∑k​ck​，因为该不等式对z\boldsymbol zz的任意原子分解都成立，因此F≤∑kckF \leq \sum_{k} c_kF≤∑k​ck​必然成立。

(2)我们证明F≥∥z∥AF \geq \Vert \boldsymbol z \Vert_{\mathcal A}F≥∥z∥A​
假设(x^,u^)(\hat x, \hat{\boldsymbol u})(x^,u^)是问题(17)的一个最优解。因为T(u^)≽0\boldsymbol T(\hat{\boldsymbol u}) \succcurlyeq \boldsymbol{0}T(u^)≽0，利用半正定Toeplitz矩阵的范德蒙德分解中的定理，我们得到T(u^)\boldsymbol T(\hat{\boldsymbol u})T(u^)可以进行范德蒙德分解，将分解结果记为(r^,p^k,f^k)(\hat{r}, \hat{p}_k, \hat{f}_k)(r^,p^​k​,f^​k​)。另外，因为[x^zHzT(u^)]≽0\left[ \begin{matrix} \hat x& \boldsymbol{z}^H\\ \boldsymbol{z}& \boldsymbol{T}\left(\hat{ \boldsymbol{u} }\right)\\ \end{matrix} \right] \succcurlyeq \boldsymbol{0}[x^z​zHT(u^)​]≽0，可以得到z∈span(T(u^))\boldsymbol z \in \text{span}(\boldsymbol T(\hat{\boldsymbol u}))z∈span(T(u^))，又因为span(T(u^))=span(a(f1),⋯,a(fr^))\text{span}(T(\hat{\boldsymbol u}))=\text{span}\left ( \boldsymbol a(f_1), \cdots, \boldsymbol a(f_{\hat{r}}) \right)span(T(u^))=span(a(f1​),⋯,a(fr^​))，我们知道
z=∑k=1r^c^ka(f^k,ϕ^k)=∑k=1r^a(f^k)s^k(20)\boldsymbol z = \sum_{k=1}^{\hat r} \hat{c}_k \boldsymbol a( \hat{f}_k, \hat{\phi}_k) = \sum_{k=1}^{\hat r} \boldsymbol a( \hat{f}_k) \hat{s}_k \tag{20} z=k=1∑r^​c^k​a(f^​k​,ϕ^​k​)=k=1∑r^​a(f^​k​)s^k​(20)

又因为[x^zHzT(u^)]≽0\left[ \begin{matrix} \hat x& \boldsymbol{z}^H\\ \boldsymbol{z}& \boldsymbol{T}\left( \hat{\boldsymbol{u} }\right)\\ \end{matrix} \right] \succcurlyeq \boldsymbol{0}[x^z​zHT(u^)​]≽0，

x^≥zH[T(u^)]†z=∑k=1r^c^k2p^ku^1=∑k=1r^p^k(21)\begin{aligned} \hat{x} & \geq \boldsymbol z^H [ \boldsymbol{T}\left( \hat{\boldsymbol{u} } \right) ]^{\dagger} \boldsymbol z = \sum_{k=1}^{\hat r} \frac{ \hat c^2_k } { \hat p_k } \\ \hat{u}_1 &= \sum_{k=1}^{\hat r} \hat{p}_k \end{aligned} \tag{21} x^u^1​​≥zH[T(u^)]†z=k=1∑r^​p^​k​c^k2​​=k=1∑r^​p^​k​​(21)

由此可以得到
F=12x^+12u^1≥12∑kc^k2p^k+12∑kp^k≥∑kck≥∥z∥A(22)\begin{aligned} F &= \frac{1}{2} \hat{x} + \frac{1}{2} \hat{u}_1 \\ & \geq \frac{1}{2} \sum_{k} \frac{ \hat c^2_k } { \hat p_k } + \frac{1}{2} \sum_k \hat{p}_k \\ & \geq \sum_k c_k \\ & \geq \Vert \boldsymbol z \Vert_{\mathcal A} \end{aligned} \tag{22} F​=21​x^+21​u^1​≥21​k∑​p^​k​c^k2​​+21​k∑​p^​k​≥k∑​ck​≥∥z∥A​​(22)

结合(1)和(2)，我们得到：F=∥z∥AF=\Vert \boldsymbol z \Vert_{\mathcal A}F=∥z∥A​。根据式(22)，只有当p^k=c^k=∣s^k∣\hat p_k =\hat c_k = \vert \hat s_k \vertp^​k​=c^k​=∣s^k​∣，且∥z∥A=∑kc^k=∑k∣s^k∣\Vert \boldsymbol z \Vert_{\mathcal A}=\sum_{k} \hat c_k =\sum_k \vert \hat s_k \vert∥z∥A​=∑k​c^k​=∑k​∣s^k​∣时取等。因此，式(20)所示的原子分解可以直接得到原子范数。

优化问题(15)与优化问题(17)的关系：(17)中的SDP优化问题本质上是式(15)秩最小化问题的凸松弛。具体来讲，式(17)中目标函数的第二项12u1\frac{1}{2} u_121​u1​是半正定Toeplitz矩阵T(u)\boldsymbol T(\boldsymbol u)T(u)的核范数（所有奇异值之和）或者trace norm (up to a scaling factor)，which is a commonly used convex relaxation of the matrix rank。而第一项12x\frac{1}{2} x21​x是为了防止平凡解(trivial solution)的出现设置的正则项。

关于问题求解过程的总结：
S1: the frequencies component are encoded in the Toeplitz matrix T(u)\boldsymbol T(\boldsymbol u)T(u)
S2: Present the SDP optimization problem, and solve SDP. It follows that u\boldsymbol uu is derived, i.e. T(u)\boldsymbol T(\boldsymbol u)T(u) is obtained.
S3: Once the resulting SDP problem is solved, the frequencies can be retrieved from the Vandermonde decomposition of T(u)\boldsymbol T(\boldsymbol u)T(u)

另外，与原子ℓ0\ell_0ℓ0​范数类似，原子范数也可以被看作是基于协方差的方法，两者的不同之处在于原子ℓ0\ell_0ℓ0​范数直接利用了低秩性，而利用原子范数，问题更容易求解。

参考

[1] Yang, Z., Li, J., Stoica, P., & Xie, L. (2016). Sparse Methods for Direction-of-Arrival Estimation. ArXiv, abs/1609.09596.