∣旋转后仍为函数图像问题NightguardSeries.∣\begin{vmatrix}\huge{\textsf{ 旋转后仍为函数图像问题 }}\\\texttt{ Nightguard Series. }\end{vmatrix}∣∣∣∣∣​ 旋转后仍为函数图像问题  Nightguard Series. ​∣∣∣∣∣​

♣例1\clubsuit \textsf{例1}♣例1

f(x)=ln⁡(x+1)(x∈(0,+∞))f(x)=\ln (x+1) (x\in(0,+\infin))f(x)=ln(x+1)(x∈(0,+∞)) 的图像绕原点逆时针旋转 θ\thetaθ 后仍为一个函数的图像，则 θ\thetaθ 最大值为？

由函数的定义可知：一个 xxx 仅能对应一个 f(x)f(x)f(x) ，或者说过图像上的任意一点 PPP 做与 xxx 轴垂直的直线，则该直线与图像仅有一个交点 PPP 。结合函数图像，我们可以找出一个临界位置：

如图，当 f(x)=ln⁡(x+1)f(x)=\ln (x+1)f(x)=ln(x+1) 的图像旋转的时候，其在 (0,0)(0,0)(0,0) 处的切线 lll 也同时旋转。当 l′∥yl'\parallel yl′∥y 轴时，即到达临界状态，如果继续旋转，则图像与 yyy 轴有两个交点，图像将不再是一个函数的图像。

而 f′(x)=1/(x+1)f'(x)=1/(x+1)f′(x)=1/(x+1) ，求得 l:y=xl:y=xl:y=x，倾斜角为 π4\frac{\pi}{4}4π​ ，因此 θ\thetaθ 最大值为 π4\frac{\pi}{4}4π​。

♣例2\clubsuit \textsf{例2}♣例2

f(x)=sin⁡x(x∈(0,2π))f(x)=\sin x (x\in(0,2\pi))f(x)=sinx(x∈(0,2π)) 的图像绕原点顺时针旋转 θ\thetaθ 后仍为一个函数的图像，则 θ\thetaθ 最大值为？

与例1不同的是这题的临界状态与旋转中心处的切线无关：

如图，当 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx 的图像旋转的时候，其在 (π,0)(\pi,0)(π,0) 处的切线 lll 也同时旋转。当 l′∥yl'\parallel yl′∥y 轴时，即到达临界状态。

而 f′(x)=cos⁡xf'(x)=\cos xf′(x)=cosx，求得 l:y=−x+πl:y=-x+\pil:y=−x+π ，θ\thetaθ 最大值为 π4\frac{\pi}{4}4π​。

到此，我们发现一个规律：

顺时针旋转看 f′(x)minf'(x)_{min}f′(x)min​， 逆时针旋转看 f′(x)maxf'(x)_{max}f′(x)max​

（应该是对的吧qaq）

♣例3\clubsuit \textsf{例3}♣例3

f(x)=ln⁡(x+1)(x∈(0,+∞))f(x)=\ln (x+1)(x\in(0,+\infin))f(x)=ln(x+1)(x∈(0,+∞)) 的图像绕点 Q(114,514)Q(114,514)Q(114,514) 逆时针旋转 θ\thetaθ 后仍为一个函数的图像，则 θ\thetaθ 最大值为？

由于一个函数图像任意平移后一定还是一个函数图像，因此它与绕 (0,0)(0,0)(0,0) 点旋转的情况其实没有区别：

同时这也提示了例2的另一种思路：把原图像平移为 f(x)=−sin⁡x(x∈{−π,π})f(x)=-\sin x (x\in \{-\pi,\pi\})f(x)=−sinx(x∈{−π,π}) ，可能会更好看一些。

♣例4\clubsuit \textsf{例4}♣例4（综合）

f(x)=xex((x∈(0,+∞))f(x)=\frac{x}{e^x} ((x\in(0,+\infin))f(x)=exx​((x∈(0,+∞)) 的图像绕原点逆时针旋转 θ\thetaθ 后仍为一个函数的图像，则 θ\thetaθ 取值范围是？

首先设 θ∈{−π,π}\theta \in\{-\pi,\pi\}θ∈{−π,π}

f′(x)=1−xexf'(x)=\frac{1-x}{e^x}f′(x)=ex1−x​

f′′(x)=x−2exf''(x)=\frac{x-2}{e^x}f′′(x)=exx−2​

x=2,f′(x)min=f′(2)=−1e2x=2,f'(x)_{min}=f'(2)=-\frac{1}{e^2}x=2,f′(x)min​=f′(2)=−e21​

∴\therefore∴ 逆时针方向上旋转最小角度为 −π2+arctan⁡(1e2)-\frac{\pi}{2}+\arctan(\frac{1}{e^2})−2π​+arctan(e21​)

x=0,f′(x)max=f′(0)=1x=0,f'(x)_{max}=f'(0)=1x=0,f′(x)max​=f′(0)=1

∴\therefore∴ 逆时针方向上旋转最大角度为 π4\frac{\pi}{4}4π​

由周期性可知 θ∈[kπ−π2+arctan⁡(1e2),kπ+π4]，k∈Z.\theta \in[k\pi-\frac{\pi}{2}+\arctan(\frac{1}{e^2}),k\pi+\frac{\pi}{4}]，k\in \Z.θ∈[kπ−2π​+arctan(e21​),kπ+4π​]，k∈Z.