关于虚数与复数

• 1 数的分类
• • 1.1 实数域
  • 1.2 虚数与复数
• 2 复数的性质及其运算
• • 2.1 复平面、大小及辐角
  • 2.2 复数四则运算
  • 2.3 共轭复数
  • 2.4 复数的极坐标表示
• 3 欧拉公式
• • 3.1 欧拉公式证明
  • 3.2 利用欧拉公式表示极坐标
  • 3.3 欧拉公式推导三角函数加法定理
• 4 复数的性质、乘法和除法运算和极坐标表示方法
• • 4.1 复数乘法
  • • 4.1.1 直角坐标系中计算
    • 4.1.2 极坐标下计算
  • 4.1 复数除法
• 参考

实数按照大小排列可以构成实数轴，复数不属于实数，所以复数并不在实数轴上。实数轴添加一个虚数轴构成复平面，复数可以表示为复平面上的一个点。复数有大小和辐角，复平面上的点利用大小和辐角表示就是极坐标。极坐标可以通过三角函数转为复平面直角坐标 a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)a + bi=rcos\theta+irsin\theta=r(cos\theta+isin\theta)a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)。通过引入欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθe^{iθ}=cosθ+isinθeiθ=cosθ+isinθ，它能通过复指数表示复数(三角函数形式)，复指数中系数表示大小，θ 为辐角。通过复指数能够大大简化运算。函数的相互转化:
a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)=reiθa + bi=rcos\theta+irsin\theta=r(cos\theta+isin\theta)=re^{iθ}a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)=reiθ

1 数的分类

1.1 实数域

自然数：最常用的数为自然数，有些人指正整数，有些人则指非负整数。前者多在数论中被使用，而在集合论和计算机科学中则多使用后者的定义。如：1、2、3…

整数 = 负数 + 0 + 自然数

有理数：有理数是指可以被表示成整数分子(m)和非零整数分母(n)的分数的数，即 m/nm/nm/n，其代表 1 被分做相同的 n 份，再取 m 份后的量。分数可以是正的、负的、或零。所有分数所组成的集合包含有整数，因为每一个整数都可以写成分母为 1 的分数。有理数的符号为ℚ

无理数：无限不循环小数

实数 = 有理数 + 无理数，实数的符号为 R 。

下图是数的包含关系

所有实数按大小顺序排列后的形成的就是数轴

1.2 虚数与复数

虚数：虚数 iii，英文 imaginary number，表示由想象力创造出来的数。

因为虚数不是实数，所以不在数轴上

复数： 实数 + 虚数 的形式 a+bia + bia+bi，其中 a 和 b 是实数，分别表示复数的“实部”和“虚部”。

2 复数的性质及其运算

现有复数： 3+2i3 + 2i3+2i

2.1 复平面、大小及辐角

复平面：以实部为横轴即实数轴，以虚部为纵轴即虚数轴，复数就是这个平面上的点

复数大小计算公式：

辐角计算：
θ=arctan(虛部/实部)=arctan(b/a)=arctan(2/3)=0.588弧度θ = arctan(虛部/实部)=arctan(b/a)=arctan(2/3)=0.588 弧度θ=arctan(虛部/实部)=arctan(b/a)=arctan(2/3)=0.588弧度
附：关于弧度定义可参考数字信号处理-2-三角函数与谱

2.2 复数四则运算

实部之间，虚部之间可以进行四则运算。

2.3 共轭复数

共轭复数，与原复数虚部正负号相反的复数称为共轭复数

复数与它的共轭复数大小相同，但是辐角的正负号相反

复数与它的共轭复数之间相加、相乘、相除都会得到实数

2.4 复数的极坐标表示

在数学中，极坐标系（英语：Polar coordinate system）是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点—极点的距离来表示。

对于一个复数我们可以计算其大小和辐角，所以可以用极坐标系表示。如复数 4+3i4+3i4+3i，其大小为 r = 5，辐角为 θ=arctan(3/4)\theta=arctan(3/4)θ=arctan(3/4)， 极坐标就是 (5,arctan(3/4)(5, arctan(3/4)(5,arctan(3/4)

当我们有极坐标 (r,θ)(r, \theta)(r,θ) ,就可以利用三角函数将极坐标转换到直角坐标。

上图中三角形抽离出来：

a=rcos⁡θ,b=rsin⁡θa = r \cos\theta, b = r \sin\thetaa=rcosθ,b=rsinθ。即
复数=实部+虚部=a+bi=rcos⁡θ+irsin⁡θ复数 =实部 + 虚部 =a+bi= r \cos\theta + ir \sin\theta复数=实部+虚部=a+bi=rcosθ+irsinθ

综上，所以表示复平面上点的方法有两种，一种是用直角坐标系来表示，另一种是用极坐标系来表示。要根据目的选择便于使用的坐标系、

3 欧拉公式

欧拉公式一般表现形式：
eiθ=cosθ+isinθe^{iθ}=cosθ+isinθeiθ=cosθ+isinθ
当 θ=πθ=πθ=π 时，有 eiπ+1=0e^{iπ}+1=0eiπ+1=0

纳皮尔常数 e 定义:

3.1 欧拉公式证明

复指数 eixe^ixeix 麦克劳伦展开:

根据 i2=−1i^2=-1i2=−1 有：

cosxcosxcosx 与 sinxsinxsinx 的麦克劳伦展开

三角函数替换复指数中右侧，得到欧拉公式：
eix=cosx+isinxe^{ix}=cosx+isinxeix=cosx+isinx

附:棣(di 四声)莫弗公式

棣莫弗公式由欧拉公式推出：
(eix)n=eixn=(enx)i=cos(nx)+isin(nx)(e^{ix})^n=e^{ixn}=(e^{nx})^i=cos(nx)+isin(nx)(eix)n=eixn=(enx)i=cos(nx)+isin(nx)

3.2 利用欧拉公式表示极坐标

2.4 节利用极坐标表示复数：
复数=实部+虚部=a+bi=rcos⁡θ+irsin⁡θ复数 =实部 + 虚部 = a + bi = r \cos\theta + ir \sin\theta复数=实部+虚部=a+bi=rcosθ+irsinθ
其中 r=a2+b2r =\sqrt{a^2 + b^2}r=a2+b2​， 辐角 θ=arctan(b/a)\theta=arctan(b/a)θ=arctan(b/a)

利用欧拉公式有：
rcos⁡θ+irsin⁡θ=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθr \cos\theta + ir \sin\theta=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)=reiθ

3.3 欧拉公式推导三角函数加法定理

三角函数加法定理，根据欧拉公式eiθ=cosθ+isinθe^{iθ}=cosθ+isinθeiθ=cosθ+isinθ有：

ei(α+β)=cos(α+β)+isin(α+β)e^{i(α+β)}=cos(α+β)+isin(α+β)ei(α+β)=cos(α+β)+isin(α+β)

根据指数计算规则又有：

ei(α+β)=eiα∗eiβ=(cosα+isinα)∗(cosβ+isinβ)=cosαcosβ−sinαsinβ+i(cosαsinβ+sinαcosβ)e^{i(α+β)}=e^{iα}*e^{iβ}=(cosα+isinα)*(cosβ+isinβ)=cosαcosβ-sinαsinβ+i(cosαsinβ+sinαcosβ)ei(α+β)=eiα∗eiβ=(cosα+isinα)∗(cosβ+isinβ)=cosαcosβ−sinαsinβ+i(cosαsinβ+sinαcosβ)

上面两式中实部和虚部对应相等，所以有：

也即三角函数的加法定理。

4 复数的性质、乘法和除法运算和极坐标表示方法

4.1 复数乘法

现在假设我们有两个复数 1+2i1+2i1+2i 和 3+4i3+4i3+4i

4.1.1 直角坐标系中计算

计算两个复数的乘积，在直角坐标系中的乘法计算：

可见计算麻烦，现在将结果 −5+10i-5+10i−5+10i 用极坐标(需要计算大小和辐角)表示：

4.1.2 极坐标下计算

极坐标下的两个复数，使用欧拉公式表示有：

进行乘法运算有：

复指数乘法将两个复数的大小相乘，辐角相加

复数 1+2i1+2i1+2i 和 3+4i3+4i3+4i，计算极坐标，极坐标分别为 (5\sqrt{5}5​,1.1rad1.1rad1.1rad)={r1=1+22=5,θ1=arctan(2/1)=1.1弧度r_1=\sqrt{1+2^2}=\sqrt{5},\theta_1=arctan(2/1)=1.1弧度r1​=1+22​=5​,θ1​=arctan(2/1)=1.1弧度} 和 (555,0.93rad0.93rad0.93rad)={r2=32+42=5,θ2=arctan(4/3)=0.93弧度r_2=\sqrt{3^2+4^2}=5,\theta_2=arctan(4/3)=0.93弧度r2​=32+42​=5,θ2​=arctan(4/3)=0.93弧度}

利用欧拉公式将极坐标转为复指数：

5ei1.1∗5ei0.93=55ei1.1+0.93=55ei2.03\sqrt{5}e^{i1.1}*5e^{i0.93}=5\sqrt{5}e^{i1.1+0.93}=5\sqrt{5}e^{i2.03}5​ei1.1∗5ei0.93=55​ei1.1+0.93=55​ei2.03
2.03 弧度约等于 116.6 度，可见利用极坐标我们能很快算出乘积结果。

复数的乘法运算表示旋转，如下图，(1+2i)∗(3+4i)(1+2i)*(3+4i)(1+2i)∗(3+4i),相当于3+4i3+4i3+4i 先将大小放大(或缩小) r1=1+22=5r_1=\sqrt{1+2^2}=\sqrt{5}r1​=1+22​=5​ 倍，随后旋转 arctan(2/1)arctan(2/1)arctan(2/1)弧度

4.1 复数除法

分母有理化计算除法

极坐标方式计算除法，也即把大小和辐角分别进行除法运算：

欧拉公式表示除法：

5ei1.1÷5ei0.93=(5/5)∗ei1.1−0.93=(5/5)ei0.18\sqrt{5}e^{i1.1}÷5e^{i0.93}=(5/\sqrt{5})*e^{i1.1-0.93}=(\sqrt{5}/5)e^{i0.18}5​ei1.1÷5ei0.93=(5/5​)∗ei1.1−0.93=(5​/5)ei0.18

参考

数
复数 (数学)
漫画虚数和复数
复数的几种表示形式