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1 TOPSIS简介

有关综合评价的方法有多种， 根据赋权方法不同主要有两类：一类是主观赋值法， 如指数法、层次分析法、模糊综合评价法等；另一类是客观赋值法， 如因子分析法、TOPSIS 法、人工神经网络法等。

本文主要介绍 TOPSIS 法。TOPSIS( Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution) 法， 即理想解法， 由 C.L.Hwang 和 K.Yoon 于 1981 年首次提出， 可用于效益评价、决策、管理等多个领域。

该方法根据各测评对象与理想目标的接近程度进行排序，在现有研究对象中进行相对优劣评价。

其基本原理是通过测度各评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序， 若评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最优；否则不是最优。

TOPSIS 法的主要评价步骤(极大型指标)如下：

根据接近程度大小即Ci(0<=Ci<=1)C_i(0<=C_i<=1)Ci​(0<=Ci​<=1)的大小进行排序，CiC_iCi​值越大，表明评价单元越接近理想状态， 评价结果越好。

也可以根据公式得出，当Si+S_i^+Si+​越大时，ZijZ_{ij}Zij​越接近最大值。

该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

针对上述步骤中，在得到指标矩阵时，还需根据目标进行指标正向化，然后再归一化处理。接下来具体讲解指标正向化。

2 指标正向化方法

1）极大型指标

越高（大）越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标）。

x=x−xminxmax−xminx=\frac{x-x_{min}}{x_{max}-x_{min}}x=xmax​−xmin​x−xmin​​

如学习成绩：

2）极小型指标

越少（越小）越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）。

对于这类指标，正常是转为将所有的指标转化为极大型指标，即指标正向化。

极小型指标转换为极大型指标的公式：

xmax−xx_{max}-xxmax​−x

如果所有极小型指标的数据都为整数，那么也可以用如下公式进行转换：

1x\frac{1}{x}x1​

下图显示了将“与人争吵的次数”这一极小型指标转化为极大型指标的结果：

3）中间型指标

中间型指标的特点：指标的值既不要太大也不要太小，取某个特定的值最好。

做法也是转化为极大型指标。

设{xi}\{x_i\}{xi​}是一组中间型指标序列，且最佳数值为xbestx_{best}xbest​，则正向化公式：

M=max⁡{xi−xbest},xi~=1−∣xi−xbest∣MM=\max\{x_i-x_{best}\},\tilde{x_i}=1-\frac{|x_i-x_{best}|}{M}M=max{xi​−xbest​},xi​~​=1−M∣xi​−xbest​∣​

例如： 水质量评估 PH 值指标正向化，PH值取7时水质最好：

4）区间型指标

区间型指标：指标落在某个区间内最好。

设xi{x_i}xi​是一组区间型指标序列，且最佳的区间为[a,b]，那么正向化的公式如下：

例如： 例如人的体温在36摄氏度~37摄氏度这个区间内最好：

3 python实现

TOPSIS一般结合熵权法使用。

import pandas as pd
import numpy as np#逆向指标标准化
def normalization1(data):_range = np.max(data) - np.min(data)return (data - np.min(data)) / _range#正向指标标准化
def normalization2(data):_range = np.max(data) - np.min(data)return (np.max(data) - data) / _range#熵权法计算权重
def entropyWeight(data):P = np.array(data)# 计算熵值E = np.nansum(-P * np.log(P) / np.log(len(data)), axis=0)# 计算权系数return (1 - E) / (1 - E).sum()def topsis(data, weight=None):  # 权重weight = entropyWeight(data) if weight is None else np.array(weight)# 最优最劣方案Z = pd.DataFrame([(data*weight.T).min(), (data*weight.T).max()], index=['负理想解', '正理想解'])#Z = pd.DataFrame([data.min(), data.max()], index=['负理想解', '正理想解'])# 距离Result = data.copy()#Result['正理想解'] = np.sqrt(((data - Z.loc['正理想解']) ** 2 * weight).sum(axis=1))#Result['负理想解'] = np.sqrt(((data - Z.loc['负理想解']) ** 2 * weight).sum(axis=1))Result['正理想解'] = np.sqrt(((weight*data - Z.loc['正理想解']) ** 2 ).sum(axis=1))Result['负理想解'] = np.sqrt(((weight*data - Z.loc['负理想解']) ** 2 ).sum(axis=1))# 综合得分指数Result['综合得分指数'] = Result['负理想解'] / (Result['负理想解'] + Result['正理想解'])Result['排序'] = Result.rank(ascending=False)['综合得分指数']return Result, Z, weightif __name__=='__main__':data = pd.read_csv('testdata.csv',sep = ',',encoding='gbk',header=None)data1 = data.copy()data1[0] = normalization1(data1[0])data1[1] = normalization1(data1[1])data1[2] = normalization1(data1[2])data1[3] = normalization1(data1[3])[result,z1,weight] = topsis(data1)

最终得到的评分结果（部分）、正负理想解和权重如下：

参考：
https://blog.csdn.net/qq_36384657/article/details/98188769
https://zhuanlan.zhihu.com/p/345513712
https://blog.csdn.net/qq_36384657/article/details/98188769